Sistemas numéricos en Matemáticas Discretas 2024

Los sistemas numéricos en matemáticas discretas tienen que ver con las reglas y maneras en que usamos los números para representar cantidades.

El comprender los sistemas de numeración te ayuda a ser más consciente de lo que sucede cuando escribes código y es ejecutado por la computadora.

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¡Una de las mejores maneras de aprender es con la práctica!

No sirve mucho si lo que aprendes, no lo aplicas, es por eso que he creado unos ejercicios de:

• Conversiones entre sistemas numéricos.
• Ejercicios de operaciones aritméticas binarias.

Descarga el PDF dando click al siguiente botón:

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Conversiones de sistemas numéricos (decimal, binario, octal, hexadecimal)

Es posible convertir un valor en binario a decimal y viceversa, o de un sistema numérico a otro, siguiendo unas sencillas reglas. Para ver diferentes ejercicios de conversiones de sistemas numéricos, da click en los siguientes posts.

Si quieres soluciones rápidas y explicadas paso a paso, te comparto también esta lista de reproducción de YouTube de Ejercicios resueltos de conversión de sistemas numéricos.

Sistemas numéricos en Matemáticas Discretas Operaciones básicas BINARIAS

En esta sección vamos a ver cómo hacer operaciones básicas en los sistemas numéricos, todo paso a paso como nos gusta.

Tipos de sistemas numéricos en Matemáticas Discretas

Existen diferentes sistemas numéricos usados en la vida cotidiana y en las ciencias de la computación:

• Sistema decimal o base 10. Es el que usamos normalmente, representado con los números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Existe la teoría de que este sistema fue creado porque tenemos 10 dedos y los usamos para contar. No es muy usado en las computadoras.
• Sistema binario o base 2. Representado por dos dígitos: 0 y 1. Es ideal para almacenar información las computadoras porque almacenan la información en base a dos estados: con impulso eléctrico o sin impulso (1 o 0). Un ejemplo es: 110.
• Sistema octal o base 8. Representado por ocho dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8. El sistema octal es importante porque facilita las conversiones de binario, es realmente por una necesidad práctica.
• Sistema hexadecimal o base 16. Representado por dieciseís dígitos/caracteres: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Principalmente usado para representar unidades de memoria de una computadora (y por eso es muy vinculado a las ciencias de la computación. Un ejemplo es: 1A. muy loco, ¿no?

¿Cómo se presenta el 2 en binario?

Si el sistema numérico binario se compone sólo de 1 y 0, ¿Cómo se representa el número 2 en binario?

A continuación te comparto un vídeo donde puedes aprender la manera en que funciona el sistema binario y cómo hacer la conversión de binario a decimal.

¿Es necesario aprender Sistemas de Numéricos siendo Programador?

Es importante mencionar que desde mi experiencia, no es estrictamente necesario que como programador novato domines los sistemas numéricos en informática en la mayoría de los casos.

Por ejemplo, en desarrollo web basta con que sepas usar el sistema decimal que es el que usas actualmente (que es contar del 0 al 9 luego el 10 etcétera), las operaciones aritméticas básicas y sacar porcentajes.

Pero saber sistemas de numeración sí que te va a DIFERENCIAR de otros desarrolladores en lo siguiente:

• Tener una comprensión más profunda de cómo funciona una computadora.
• Comprender cómo se ejecuta el código fuente de un programa.
• Conocer las unidades de memoria de una computadora y cómo nuestros programas pueden afectarla.

¡Y muchas cosas más! Mira el siguiente vídeo para que aprendas más sobre los sistemas numéricos en matemáticas discretas:

Y mi recomendación es que ¡NO SEAS PROMEDIO! Si quieres estar de lado de los ingenieros de software profesionales, sigue leyendo.

Reglas de sistemas de numeración posicional

En los sistemas de numeración nosotros tenemos reglas que nos indican cómo el sistema numérico va a funcionar.

En el caso del sistema decimal, nosotros tenemos que cuando contamos el cero uno dos y llegamos hasta el 9, el 9 es el último dígito permitido por qué cuando hacemos 9 + 1 es igual a 10.

¿Por qué se expresa de esta manera? Contamos de este modo inconscientemente o intuitivamente Pero, ¿por qué? ¿cuál es la regla detrás de esto?

Pues bien, los sistemas de numeración hay reglas y la regla dice que cuando llegas al último dígito permitido por el sistema, para pasar al siguiente valor lo que vas a hacer es reiniciar el dígito a cero o en el primer dígito que permite el sistema y vas a agregar un +1.

En este caso, es más uno porque no existe otro dígito, pero básicamente esto es la manera en la que vas a expresar el siguiente número.

Así es la regla y esto es el fundamento que necesitas saber para poder comprender los demás sistemas.

En qué se usa el Sistema Binario

En los Sistemas numéricos en Matemáticas Discretas, el sistema binario (que consiste en cero y uno) es el fundamento de cómo una computadora funciona por dentro ya que internamente todo lo que ves en imágenes, o si tienes archivos de word o de Excel, o si tienes imágenes de formato jpg, o incluso, si tienes código fuente o cualquier tipo de archivo que se te ocurra, en una computadora al final se expresa en unos y ceros.

Esto es el fundamento de cómo funciona la memoria de una computadora. Un bit es la unidad mínima de memoria de una computadora y significa “binary digital”.

En este caso, representa un valor binario y después de aquí podemos partir que existan los bytes que consiste en 8 bits y así podemos ir formando un kilobyte que consiste en 1024 bytes, megabytes con 1024 kilobytes y así consecutivamente.

Todo esto es un ejemplo de cómo el código binario te puede ayudar a tener una mejor comprensión de cómo una computadora almacena información.

¿Y esto de que te puede servir? Bueno, es importante que sepas como un programador que el código fuente que tú escribes, al final es un código que va a ser interpretado por una computadora, pero para que la computadora sepa qué instrucciones debe ejecutar, al final va a compilar el código.

Se le llama compilar a el proceso de convertir el código del lenguaje de programación a código máquina o código binario. ¿Eso interesante, verdad?

El fundamento de las unidades de medida de memoria en una computadora, también te puede ayudar a tener mejores decisiones al momento de diseñar una base de datos porque en la base de datos tú puedes definir un tipo de valor, por ejemplo, si es una cadena, si es números enteros, números flotantes, booleanos, etcétera.

¿Por qué existen el sistema hexadecimal y octal?

¿Qué hay del sistema hexadecimal y el octal? ¿Por qué existen? Sus existencias son prácticas y esto es porque hay valores binarios muym muy largos que son complicados de seguir para un humano.

Imagínate el binario 110101010101010, es una cifra muy grande que se dificulta leer. Para facilitar estos escenarios se inventaron el sistema hexadecimal y Octal.

El hexadecimal se suele utilizar para escribir direcciones de IP pero el código ASCII e inclusive para códigos css (que es utilizado en las páginas web) para poder asignar valores de colores ya que un color se puede expresar un valor hexadecimal.

Tabla de sistemas numéricos (binario, octal, decimal y hexadecimal)

A continuación te comparto una tabla de los sistemas numéricos con sus conversiones. Esta tabla te va a ayudar mucho como una guía para hacer conversiones entre sistemas.

Decimal Base 10	Binario Base 2	Octal Base 8	Hexadecimal Base 16
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10
17	10001	21	11
18	10010	22	12
19	10011	23	13
20	10100	24	14
21	10101	25	15
22	10110	26	16
23	10111	27	17
24	11000	30	18
25	11001	31	19
26	11010	32	1A
27	11011	33	1B
28	11100	34	1C
29	11101	35	1D
30	11110	36	1E
31	11111	37	1F
32	100000	40	20

Historia de los sistemas numéricos matemáticas discretas

Existe la hipótesis de que el origen del sistema decimal es debido a que nuestra especie tiene 10 dedos en las manos, y al usar los dedos para contar, lo hacíamos hasta llegar al 10.

A menos que hayas tenido un accidente y perdieras algún dedo, de manera intuitiva también utilizas tus 10 dedos para contar.

Sin embargo, la existencia de los sistemas de numeración en informática son el resultado de diferentes aportaciones durante la historia humana, desde la creación del lenguaje y la escritura, hasta las ciencias exactas.

Este es el resumen sobre los diferentes sucesos relevantes en la historia de los sistemas numéricos en matemáticas discretas:

• La creación de un sistema numérico de notación posicional en India y Arabia entre el año 400 y 594 (primer siglo).
• Existencia del número cero encontrado en la tablilla Gwailior del año 876.
• A principios del siglo XVII Leibniz desarrolló la base matemática para el sistema binario y octal.
• En 1963 la empresa IBM introdujo por primera vez el sistema hexadecimal.

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Los sistemas numéricos en informática son sólo la punta del iceberg en este mundo de las matemáticas discretas, aún quedan por ver temas como la teoría de conjuntos, teoría de grafos, lógica composicional y mucho más!